Сигма в формуле Блэка-Шоулза, iv или СКО базисного актива берется в этой формуле Опции

[beginner]

Что обычно берут в качестве Сигма в формуле Блэка-Шоулза?

Обозначения к формуле, как русскоязычные, так и англоязычные, говорят, что сигма - это the volatility of returns of the underlying asset, т.е. волатильность доходности базисного актива. Грубо говоря, я пытаюсь угадать, как сильно будет колебаться доходность базисного актива и соответствующий процент подставляю в эту формулу.
Но дальше начинаются пояснения, которые все запутывают.

Дается определение implied volatility (iv), в вики она определяется как волатильность, implied by the market price of an option. И говорится, что это то значение, которое, будучи подставлено в Блэка-Шоулза, даст рыночную цену опциона. Далее вики поясняет, что в отличие от исторической волатильности (которую считают как отклонение доходностей базисного актива) эта самая iv зависит и от цены самого опциона.

It is helpful to note that implied volatility is related to historical volatility, but the two are distinct. Historical volatility is a direct measure of the movement of the underlying’s price (realized volatility) over recent history (e.g. a trailing 21-day period). Implied volatility, in contrast, is determined by the market price of the derivative contract itself, and not the underlying.

Эта самая IV зависит от страйка самого опциона. А не только от дисперсии базисного актива.

Вики рекомендует считать зависимость IV от страйка и времени как "рыночный факт" и из volatility surface брать это самое IV (для данного страйка и данного времени) и все-таки использовать в формуле Блэка-Шоулза

Despite the existence of the volatility smile (and the violation of all the other assumptions of the Black–Scholes model), the Black–Scholes PDE and Black–Scholes formula are still used extensively in practice. A typical approach is to regard the volatility surface as a fact about the market, and use an implied volatility from it in a Black–Scholes valuation model. This has been described as using "the wrong number in the wrong formula to get the right price."

Вместо обоснования вики говорит, что "подставляя неправильную переменную в неправильную формулу, мы как раз получим верную цену" и ссылается на некоторую книгу
Riccardo Rebonato (1999). Volatility and correlation in the pricing of equity, FX and interest-rate options. Wiley.

Почему для такой базовой формулы как Блэк-Шоулз нет четкого обоснования, что берется в качестве Сигма?
И зачем брать IV (зависящую и от страйка, и от времени), когда цена по Блэку-Шоулзу и так зависит от страйка и времени_до_экспирации. Почему недостаточно в качестве Сигма подставить ожидаемые колебания базисного актива (корень из дисперсии)?

[beginner]

Спасибо за ответы.

Получается, в 70х годах Блэк и Шоулз не предполагали зависимости IV от страйков и в своих работах в качестве сигма брали просто СКО (корень из дисперсии) доходностей базисного актива.
Как везде пишут, до 90х годов это работало, так как не было эффекта "улыбки волатильности" (т.е. не было зависимости ImpliedV от страйка)

Equity options traded in American markets did not show a volatility smile before the Crash of 1987 but began showing one afterwards

И потом уже начался пересмотр и модификации этой формулы, вроде как даже без участия самих Блэка и Шоулза. И вместо рекомендованной первоначально СКО базисного актива стали использовать эту хитрую ImpliedV.


Сейчас как я понимаю и биржа, и некоторые брокеры (вроде IT Invest сам свои значения считает) транслируют нам посчитанные "теоретические цены" опциона и графики "улыбки волатильности".
Получается, за основу все берут формулу Блэка-Шоулза из 70х годов, но "творчески переработали" определение Сигмы в ней?

[Бачурин Владимир]

Спасибо за ответы.

Получается, в 70х годах Блэк и Шоулз не предполагали зависимости IV от страйков и в своих работах в качестве сигма брали просто СКО (корень из дисперсии) доходностей базисного актива.
Как везде пишут, до 90х годов это работало, так как не было эффекта "улыбки волатильности" (т.е. не было зависимости ImpliedV от страйка)

И потом уже начался пересмотр и модификации этой формулы, вроде как даже без участия самих Блэка и Шоулза. И вместо рекомендованной первоначально СКО базисного актива стали использовать эту хитрую ImpliedV.


Сейчас как я понимаю и биржа, и некоторые брокеры (вроде IT Invest сам свои значения считает) транслируют нам посчитанные "теоретические цены" опциона и графики "улыбки волатильности".
Получается, за основу все берут формулу Блэка-Шоулза из 70х годов, но "творчески переработали" определение Сигмы в ней?

что нам даёт формула бш. она на конкретный опцион с его конкретной волатильностью считает его цену
о том какая и почему именно такая волатильность у этого опциона - формула умалчивает